(2020年北京卷第20题)已知椭圆过点A(-2,-1)，且a=2b．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值．

本文将给出该题的两个推广.

图1

推广1 如图1，过点B(m,0)(0<|m|≠a)作直线交椭圆于点M,N,在直线上任取一点P,设直线PM,PN分别交直线x=m于A,C,则AB=BC.

证明：当直线MN与x轴重合时容易验证结论成立.

当直线MN与x轴不重合时, 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，直线MN的方程为x=ty+m,代入椭圆方程得设点则直线PM的方程为令x=m得点A的纵坐标同理得点C的纵坐标所以要证AB=BC,只要证yA+yC=0，即

由根与系数的关系知上式成立,故AB=BC.

注:AB=BC?kPM+kPN=2kPB.

推广2 已知点Q(x0,y0)及椭圆(点Q不在椭圆上),直线OQ交直线于点B(O为原点),过点B作直线交椭圆于点M,N,再在过点Q与l平行的直线上任取一点P,设直线PM,PN分别交l于点A,C,则AB=BC.

图2

证明：先作仿射变换:则上述问题等价于:

如图2,已知点Q与直线l是⊙O的一对极点、极线,直线OQ交l于点B,过点B作直线交⊙O于点M,N,再在过点Q与l平行的直线上任取一点P，设直线PM,PN分别交直线l于A,C,则AB=BC.

下面给出该结论的证明：

以点B为原点l为y轴建系,设⊙O的方程为x2+y2+2dx+f=0,点Q(m,0),由点Q与直线l是⊙O的一对极点、极线易得f=-dm.又设点P(m,n),M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:y=kx,代入⊙O的方程得(k2+1)x2+2dx-dm=0;直线PM的方程为令x=0得点A的纵坐标同理得点C的纵坐标所以要证AB=BC,只要证yA+yC=0，即由根与系数的关系知上式成立,故AB=BC.

文章来源：《北京中医药》 网址: http://www.bjzyyzz.cn/qikandaodu/2021/0625/1360.html

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